在数学的世界里，三角函数是描述角度与边长关系的重要工具，而其中的正弦（sine）函数更是基础且广泛应用。今天，我们将聚焦于一个特定的角度——75°，并探讨其对应的正弦值。
首先，我们知道75°可以被分解为两个已知角的和：45° + 30°。利用三角函数中的加法公式，我们可以计算出sin75°的具体数值：
\[
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)
\]
根据正弦加法公式：
\[
\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
将a=45°，b=30°代入公式，我们得到：
\[
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)
\]
接着，我们需要知道一些基本的三角函数值：
- \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\)，\(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
将这些值代入公式中：
\[
\sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
\]
进行乘法运算后：
\[
\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}
\]
最后，合并分母相同的项：
\[
\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]
因此，75°的正弦值为\(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)。这个结果既精确又美观，体现了数学之美。
通过这种方式，我们不仅解决了具体问题，还重温了三角函数的基本原理和操作方法。希望这次探索能帮助你更好地理解三角函数的魅力！
