【等比数列的求和公式怎么写】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的求和公式是解决这类问题的重要工具，广泛应用于数学、物理、经济等领域。

下面将对等比数列的求和公式进行总结，并通过表格形式清晰展示不同情况下的公式应用。

一、等比数列的基本概念

- 首项（a）：数列的第一个数。

- 公比（r）：数列中任意一项与前一项的比值。

- 项数（n）：数列中包含的项的个数。

- 第n项（aₙ）：数列的第n项，计算公式为：

$ a_n = a \cdot r^{n-1} $

二、等比数列的求和公式

等比数列的求和公式根据公比的大小分为两种情况：

三、公式推导思路（简要）

1. 设等比数列前n项和为 $ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} $

2. 两边同时乘以公比 $ r $ 得：

$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n $

3. 用原式减去新式：

$ S_n - rS_n = a - ar^n $

即：$ S_n(1 - r) = a(1 - r^n) $

4. 解得：

$ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $

四、示例说明

五、注意事项

- 若公比 $ r > 1 $，建议使用公式 $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $，避免负号带来的混淆。

- 当 $ r < 1 $ 时，若求无穷等比数列的和，公式变为：

$ S = \frac{a}{1 - r} $，但这是针对无限项的情况。

通过以上内容，可以系统地理解等比数列的求和公式及其应用场景。掌握这一公式，有助于快速解决相关数学问题。