【二次函数的顶点公式】在数学中，二次函数是形如 $ y = ax^2 + bx + c $ 的函数，其中 $ a \neq 0 $。二次函数的图像是一个抛物线，其最高点或最低点称为顶点。顶点的位置对于理解二次函数的性质、图像形状以及求极值问题具有重要意义。
为了快速找到二次函数的顶点坐标，我们可以使用顶点公式。顶点公式能够直接给出抛物线的顶点坐标，而无需通过配方法或求导来计算。
一、顶点公式的推导
给定二次函数的标准形式：
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
我们可以通过配方法将其转化为顶点式：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
其中，$ (h, k) $ 是顶点坐标。
通过代数运算可以得出顶点的横坐标 $ h $ 和纵坐标 $ k $：
- 横坐标：
$$
h = -\frac{b}{2a}
$$
- 纵坐标：
$$
k = f(h) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
简化后得到：
$$
k = c - \frac{b^2}{4a}
$$
因此，顶点公式为：
$$
(h, k) = \left( -\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a} \right)
$$
二、顶点公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 顶点横坐标 | $ h = -\frac{b}{2a} $ | 由系数 $ a $ 和 $ b $ 决定，表示对称轴位置 |
| 顶点纵坐标 | $ k = c - \frac{b^2}{4a} $ | 表示顶点的纵坐标，即函数的最大值或最小值 |
| 顶点坐标 | $ (h, k) = \left( -\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a} \right) $ | 综合表示顶点的横纵坐标 |
三、应用举例
例1：
函数 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $
- $ a = 2 $, $ b = -4 $, $ c = 1 $
- 顶点横坐标：
$$
h = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1
$$
- 顶点纵坐标：
$$
k = 1 - \frac{(-4)^2}{4 \times 2} = 1 - \frac{16}{8} = 1 - 2 = -1
$$
- 顶点坐标为：$ (1, -1) $
例2：
函数 $ y = -x^2 + 6x - 5 $
- $ a = -1 $, $ b = 6 $, $ c = -5 $
- 顶点横坐标：
$$
h = -\frac{6}{2 \times (-1)} = 3
$$
- 顶点纵坐标：
$$
k = -5 - \frac{6^2}{4 \times (-1)} = -5 - \frac{36}{-4} = -5 + 9 = 4
$$
- 顶点坐标为：$ (3, 4) $
四、注意事项
1. 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上，顶点为最低点；
2. 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下，顶点为最高点；
3. 若 $ a = 0 $，则函数不再是二次函数，而是线性函数。
通过掌握顶点公式，我们可以更高效地分析和解决与二次函数相关的实际问题，例如最大利润、最小成本、运动轨迹等。它是数学学习中不可或缺的一部分。
