行列式是线性代数中的一个核心概念，它不仅在理论研究中占有重要地位，而且在实际应用中也发挥着关键作用。行列式的计算方法多种多样，其中按行或列展开是一种常用且基础的方法。本文将围绕这一主题，对行列式按行或列展开的基本性质进行系统总结。

首先，我们需要明确行列式的定义及其基本规则。设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的方阵，则其行列式记为 \( |A| \)，可以通过以下公式按某一行（或某一列）展开：

\[

|A| = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}

\]

这里，\( a_{ij} \) 表示矩阵 \( A \) 中第 \( i \) 行第 \( j \) 列的元素，而 \( M_{ij} \) 是去掉第 \( i \) 行和第 \( j \) 列后得到的余子式。符号 \( (-1)^{i+j} \) 决定了展开项的正负号。

接下来，我们从几个方面对行列式按行或列展开的基本性质进行归纳总结：

1. 按任意一行或一列展开的等价性

无论选择哪一行还是哪一列进行展开，最终得到的结果总是相同的。这是因为行列式的值本质上反映了矩阵的某种内在特性，与展开的具体方式无关。

2. 展开系数的规律性

在展开过程中，每一项的系数由 \( (-1)^{i+j} \) 决定。当 \( i+j \) 为偶数时，系数为正；当 \( i+j \) 为奇数时，系数为负。这种规律性使得展开过程具有一定的对称美。

3. 零元素的影响

如果某一行或某一列的所有元素均为零，则该行或列对应的行列式值为零。这一性质简化了某些复杂问题的求解过程。

4. 行列式的递归性质

通过按行或列展开，可以将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算。例如，三阶行列式可以通过二阶余子式的计算来完成。这种方法体现了数学中递归思想的应用。

5. 对角矩阵的特殊性

对于对角矩阵，其行列式等于主对角线上所有元素的乘积。利用这一性质，我们可以快速判断某些特殊情况下的行列式值。

6. 行列式的线性性质

行列式关于某一行或某一列具有线性性质。这意味着，如果某一行或某一列是两个向量的线性组合，则对应的行列式也可以表示为这两个向量分别对应的行列式的线性组合。

综上所述，行列式按行或列展开的基本性质为我们提供了一种高效且系统的计算方法。掌握这些性质不仅有助于解决具体的数学问题，还能加深对线性代数本质的理解。希望本文的总结能够帮助读者更好地运用这一工具，在学习和实践中取得更大的进步。